Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）若λan+

1

an+1

≥λ對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）設(shè)數(shù)列bn=

an

，{b_n}的前n項和為T_n，求證：Tn＞

2

3

(

3n+1

-1)．

Answer 1

分析：（1）將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)即證得結(jié)論，同時求出數(shù)列{

1

an

}的通項公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）求得的結(jié)果代入即

λ

3n-2

+3n+1≥λ恒成立，分離參數(shù)整理得：λ≤

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值即可；
（3）把（1）求得的結(jié)果代入bn=

an

，求得數(shù)列{b_n}的通項公式，并裂項求和，利用放縮法可證．

解答：解（1）將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)…（1分）
所以

1

an

=1+3(n-1)=3n-2，即an=

1

3n-2

…（3分）n=1時，上式也成立，所以，an=

1

3n-2

…（5分）
（2）若λan+

1

an+1

≥λ恒成立，即

λ

3n-2

+3n+1≥λ恒成立       …（6分）
整理得：λ≤

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

令cn=

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

…（7分）cn+1-cn=

(3n+4)(3n+1)

3n

-

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

…（8分）
因為n≥2，所以上式＞0，即{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c₂最小，c2=

28

3

，
所以λ的取值范圍為(-∞，

28

3

]…（10分）（3）由bn=

an

，得bn=

an

=

1 3n-2

=

2

2 3n-2

＞

2

3n-2 + 3n+1

=

2

3

(

3n+1

-

3n-2

)
所以，T_n=b₁+b₂+…+b_n＞

2

3

(

3×1+1

-

3×1-2

+

3×2+1

-

3×2-2

+…+

3n+1

-

3n-2

)=

2

3

(

3n+1

-1)…（14分）

點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強，，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．