Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+k|x+1|．
（1）當(dāng)k=-1時(shí)，把f（x）寫成分段函數(shù)，并畫出f（x）的圖象；
（2）若f(

1

2

)是函數(shù)f（x）的最小值，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=|2x-1|+k|x+1|，k=-1，知f（x）=|2x-1|-|x+1|，由此能把f（x）寫成分段函數(shù)，并畫出f（x）的圖象．
（2）由f（x）=|2x-1|+k|x+1|，f(

1

2

)是函數(shù)f（x）的最小值，能求出k的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=|2x-1|+k|x+1|，k=-1，
∴f（x）=|2x-1|-|x+1|，
由2x-1=0，得x=

1

2

；由x+1=0，得x=-1．
當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，f（x）=2x-1-x-1=x-2；
當(dāng)-1≤x＜

1

2

時(shí)，f（x）=1-2x-x-1=-3x；
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=1-2x+x+1=2-x．
∴f（x）=

x-2，x≥ 1 2 -3x，-1＜x＜ 1 2 2-x，x≤-1

．
利用描點(diǎn)法作出圖象如下：

（2）∵f（x）=|2x-1|+k|x+1|，
由2x-1=0，得x=

1

2

；由x+1=0，得x=-1．
當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，f（x）=2x-1+kx+k=（k+2）x-1+k；
當(dāng)-1≤x＜

1

2

時(shí)，f（x）=1-2x+kx+k=（k-2）x+k+1；
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=1-2x-kx-k=-（k+2）x+1-k．
∴f(x)=

(k+2)x-1+k(x≥ 1 2 ) (k-2)x+k+1(-1＜x＜ 1 2 ) -(k+2)x+1-k(x≤-1)

，
∵f(

1

2

)是函數(shù)f（x）的最小值，
∴

k+2≥0 k-2≤0

，解得-2≤k≤2．
故k的取值范圍是[-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的求法，考查分段函數(shù)的圖象的作法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意描點(diǎn)法的合理運(yùn)用．