Question

已知函數(shù)f （x）=2sin²(

π

4

+x)-

3

cos2x-1，x∈R．
（1）若函數(shù)h （x）=f （x+t）的圖象關于點(-

π

6

，0)對稱，且t∈（0，π），求t的值；
（2）設p：x∈[

π

4

，

π

2

]，q：|f（x）-m|≤3，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和兩角和差的正弦（余弦）公式，對函數(shù)f （x）的解析式進行變形后，求出函數(shù)h （x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性和t的范圍求出t的值；
（2）根據(jù)x的范圍求出“2x-

π

3

”的范圍，由正弦函數(shù)的性質求出f （x）的值域，即p的范圍；再求出絕對值不等式：|f （x）-m|≤3的解集，根據(jù)題意列出關于m的不等式，求出m的范圍．

解答：解：（1）由題意知，f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x-1
=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)，
∴h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-

π

3

），
∴h（x）的圖象的對稱中心為(

kπ

2

+

π

6

-t，0)，k∈Z，
又∵已知點(-

π

6

，0)為h（x）的圖象的一個對稱中心，
∴t=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)，
∵t∈（0，π），∴t=

π

3

或

5π

6

．
（2）若p成立，即當x∈[

π

4

，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

， 1]，即f（x）∈[1，2]，
由|f（x）-m|≤3得，m-3≤f（x）≤m+3，
∵p是q的充分不必要條件，∴

m-3≤1 m+3≥2

，解得-1≤m≤4，
即m的取值范圍是[-1，4]．

點評：本題考查了復合三角函數(shù)的性質問題，利用倍角公式和兩角和差的正弦（余弦）公式對解析式進行化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質進行求解，主要考查了“整體思想”和計算能力．