Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），長軸長為6．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意及a，b，c的平方關(guān)系即可求得a，b值；
（2）聯(lián)立方程組消去y可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理可求x₁+x₂的值，進(jìn)而可得中點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入直線方程即可求得縱坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意知，2a=6，c=2

2

，∴a=3，b²=a²-c²=9-8=1，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

9

+y2=1；
（2）由

x2 9 +y2=1 y=x+2

，得10x²+36x+27=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

36

10

=-

18

5

，
∴線段AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-

9

5

，代入方程y=x+2得y=-

9

5

+2=

1

5

，
故線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

9

5

，

1

5

）．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，韋達(dá)定理、弦長公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式是該部分常用的內(nèi)容．