已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.
（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)得，，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824033004255434.png" style="vertical-align:middle;" />，所以的解集為，即單調(diào)遞增區(qū)間；的解集為，即單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)，令，得，顯然是一個(gè)零點(diǎn)，記，求導(dǎo)得，易知時(shí)遞減；時(shí)遞增，故的最小值，又，故，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1個(gè).
試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824033004115725.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以．
令，得．當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：









↘
 
↗
故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．
（Ⅱ）解：結(jié)論：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn). 理由如下：
由，得方程， 顯然為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解. 
所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，方程可化簡為.設(shè)函數(shù)，則，令，得．
當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：









↘
 
↗
即的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．所以的最小值.                 
因?yàn)?，所以，所以對于任意，，因此方程無實(shí)數(shù)解．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在零點(diǎn).綜上，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).                       考點(diǎn)：
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率為，當(dāng)的最小值為1時(shí)，求此時(shí)切線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知a，b為常數(shù)，a¹0，函數(shù)．
（1）若a=2，b=1，求在（0，+∞）內(nèi)的極值；
（2）①若a>0，b>0，求證：在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；
②若，，且在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求由所有點(diǎn)形成的平面區(qū)域的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；
（Ⅰ）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；
（Ⅱ）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）記函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖象是曲線．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得與同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn)，在點(diǎn)處作曲線的切線與曲線交于另一點(diǎn)，在點(diǎn)處作曲線的切線，設(shè)切線的斜率分別為．問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，f '（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f '（x）是偶函數(shù)且f '（1）=0.
⑴求函數(shù)的解析式；
⑵若對于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有，求實(shí)數(shù)的最小值；
⑶若過點(diǎn)，可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某連鎖分店銷售某種商品,每件商品的成本為元,并且每件商品需向總店交元的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí),一年的銷售量為萬件．
（1）求該連鎖分店一年的利潤（萬元）與每件商品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式;
（2）當(dāng)每件商品的售價(jià)為多少元時(shí),該連鎖分店一年的利潤最大,并求出的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

定義在R上的函數(shù)滿足：恒成立，若，則與的大小關(guān)系為 （ ）
A．B．
C．D．與的大小關(guān)系不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，且在點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則的最小值是(   )
A．B．C．D．

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同步練習(xí)冊答案