Question

7．已知橢圓C的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，定點N（0，1），過圓M：x²+y²=$\frac{4}{5}$上任意一點作圓M的一條切線交橢圓C于A，B兩點．
（1）求證：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$；
（2）若點P，Q在橢圓C上，直線PQ與x軸平行，直線PN交橢圓于另一個不同的點S，問：直線QS是否經(jīng)過一個定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）當直線AB的斜率不為0時，設(shè)直線方程為my+n=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用直線與圓相切的充要條件可得5n²=4（m²+1），與橢圓方程聯(lián)立化為：（4m²+1）y²+8mny+4n²-4=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，證明其值為0即可．當直線AB的斜率為0時，容易驗證．
（2）設(shè)直線PQ的方程為：y=t（-2＜t＜2），S（x₂，y₂）．代入${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得P，Q．利用點斜式可得直線PN的方程，代入橢圓方程化為關(guān)于x的一元二次方程，解得x₁，x₂，y₂，得出QS的直線方程即可得出．

解答 （1）證明：當直線AB的斜率不為0時，設(shè)直線方程為my+n=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直線與⊙M相切，∴$\frac{|n|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，化為5n²=4（m²+1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{my+n=x}\end{array}\right.$，化為：（4m²+1）y²+8mny+4n²-4=0，
△＞0，
∴y₁+y₂=-$\frac{8mn}{4{m}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{4{n}^{2}-4}{4{m}^{2}+1}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+n）（my₂+n）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²
=$\frac{（{m}^{2}+1）（4{n}^{2}-4）}{4{m}^{2}+1}$-$\frac{8{m}^{2}{n}^{2}}{4{m}^{2}+1}$+n²=$\frac{5{n}^{2}-4（{m}^{2}+1）}{4{m}^{2}+1}$=0．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
當斜率為0時，上式也成立．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
（2）解：設(shè)直線PQ的方程為：y=t（-2＜t＜2），S（x₂，y₂）．
代入${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，解得x=±$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$，取P$（-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}，t）$，Q$（\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}，t）$．
直線PN的方程為：$y=\frac{2-2t}{\sqrt{4-{t}^{2}}}$x+1，代入橢圓方程化為：$\frac{20-8t}{4-{t}^{2}}{x}^{2}$+$\frac{4-4t}{\sqrt{4-{t}^{2}}}x$-3=0，
解得x₁=$\frac{-\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$，${x}_{2}=\frac{3\sqrt{4-{t}^{2}}}{2（5-2t）}$．∴y₂=$\frac{8-5t}{5-2t}$．
直線QS的方程為：y-t=$\frac{\frac{8-5t}{5-2t}-t}{\frac{3\sqrt{4-{t}^{2}}}{2（5-2t）}-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}}$$（x-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$，
化為：y-t=$\frac{2（t-4）}{\sqrt{4-{t}^{2}}}$ $（x-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$，化為y-4=$\frac{2（t-4）}{\sqrt{4-{t}^{2}}}$x．令x=0，則y=4．
∴直線QS經(jīng)過一個定點（0，4）．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、直線與圓相切問題、點到直線的距離公式、直線經(jīng)過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．