當(dāng)p1,p2,…,pn均為正數(shù)時,稱
n
p1+p2+…+pn
為p1,p2,…,pn的“均倒數(shù)”、已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且其前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n+1

(Ⅰ)試求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)cn=
an
2n+1
,試判斷并說明cn+1-cn(n∈N*)的符號;
(Ⅲ)已知bn=tan(t>0),記數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,試求
Sn+1
Sn
的值.
分析:(Ⅰ)先利用條件求得a1+a2++an-1+an=n(2n+1)和a1+a2++an-1=(n-1)(2n-1),兩式作差就可求出數(shù)列{an}的通項公式(注意檢驗n=1是否成立);     
(Ⅱ)利用 (Ⅰ)求得的數(shù)列{an}的通項公式代入即可求出cn+1-cn再利用函數(shù)的單調(diào)性就可判斷出cn+1-cn(n∈N*)的符號;
(Ⅲ)利用 (Ⅰ)求得的數(shù)列{an}的通項公式代入即可求出數(shù)列{bn}的通項公式,再對等比數(shù)列{bn}分公比等于1和不等于1兩種情況分別求和即可找到
Sn+1
Sn
的值;
解答:解:(Ⅰ)由題得:a1+a2+…+an-1+an=n(2n+1)  ①,
a1+a2+…+an-1=(n-1)(2n-1)       ②,
兩式相減,得an=4n-1(n≥2)
1
a1
=
1
2×1+1
,解得a1=3=4×1-1,
∴an=4n-1(n∈N+).
(Ⅱ)∵cn=
an
2n+1
=
4n-1
2n+1
=2-
3
2n+1
,cn+1=
an+1
2n+3
=2-
3
2n+3

cn+1-cn=
3
2n+1
-
3
2n+3
>0
,即cn+1>cn
(Ⅲ)∵bn=tan=t4n-1(t>0)
∴Sn=b1+b2++bn=t3+t7++t4n-1,
當(dāng)t=1時,Sn=n,
Sn+1
Sn
=
n+1
n
;
當(dāng)t>0且t≠1時,Sn=
t3(1-t4n)
1-t4
,
Sn+1
Sn
=
1-t4n+4
1-t4n

綜上得,
Sn+1
Sn
=
n+1
n
,t=1
1-t4n+4
1-t4n
,t>0,t≠1
點評:本題在利用新定義的條件下考查數(shù)列的通項公式以及求和公式,還有利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的符號.是一道綜合性很強(qiáng)的好題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
5
=1,若直線x-my-3=0截雙曲線的一支所得弦長為5.
(I)求m的值;
(II)設(shè)過雙曲線C上的一點P的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于P1,P2,且點P分有向線段
P1P2
所成的比為λ(λ>0).當(dāng)λ∈[
3
4
,
3
2
]
時,求|
OP1
||
OP2
|(O為坐標(biāo)原點)的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動點P的軌跡方程為:
x2
4
-
y2
5
=1(x>2),O是坐標(biāo)原點.
①若直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5,求實數(shù)m的值;
②設(shè)過P的軌跡上的點P的直線與該雙曲線的兩漸近線分別交于點P1、P2,且點P分有向線段
P1P2
所成的比為λ(λ>0),當(dāng)λ∈[
3
4
,
3
2
]時,求|
OP1
|•|
OP2
|的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•遂寧二模)己知雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
5
=1
,若直線x-my-3=0截雙曲線的一支所得弦長為5.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)設(shè)過雙曲線C上的一點P的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點P1、P2,且點P分有向線段
P1P2
所成的比為λ(λ>0),當(dāng)λ=
2
3
時,求|
op1
|•|
OP2
|
(O為坐標(biāo)原點)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(09年湖北鄂州5月模擬理)已知兩定點A(-3,0),B(3,0),動圓M與直線AB相切于點N,且,現(xiàn)分別過點A、B作動圓M的切線(異于直線AB),兩切線相交于點P

⑴求動點P的軌跡方程;

⑵若直線xmy3=0截動點P的軌跡所得的弦長為5,求m的值;

    ⑶設(shè)過軌跡上的點P的直線與兩直線分別交于點P1、P2,且點P分有向線段所成的比為λ(λ>0),當(dāng)λ∈時,求的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年四川省南充高中第二次高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知動點P的軌跡方程為:-=1(x>2),O是坐標(biāo)原點.
①若直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5,求實數(shù)m的值;
②設(shè)過P的軌跡上的點P的直線與該雙曲線的兩漸近線分別交于點P1、P2,且點P分有向線段所成的比為λ(λ>0),當(dāng)λ∈[,]時,求||•||的最值.

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