Question

已知函數(shù)f(x)=loga

x+1

x-1

（a＞0，a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當(dāng)x∈（n，a-2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實數(shù)a與n的值．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域看是否關(guān)于原點對稱，然后在用奇偶函數(shù)的定義判斷，要注意到代入-x時，真數(shù)是原來的倒數(shù)，這樣就不難并判斷奇偶性．
（2）用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，首先在所給的區(qū)間上任取兩個自變量看真數(shù)的大小關(guān)系，然后在根據(jù)底的不同判斷函數(shù)單調(diào)性．
（3）要根據(jù)第二問的結(jié)論，進(jìn)行分類討論，解出兩種情況下的實數(shù)a與n的值．

解答：解：（1）由

x+1

x-1

＞0得函數(shù)f（x）的定義域為（1，+∞）∪（-∞，-1），…（2分）
又f(-x)=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

=loga(

x+1

x-1

)-1=-loga

x+1

x-1

=-f(x)
所以f（x）為奇函數(shù)．  …（4分）
（2）由（1）及題設(shè)知：f(x)=loga

x+1

x-1

，設(shè)t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

，
∴當(dāng)x₁＞x₂＞1時，t1-t2=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∴t₁＜t₂．…（6分）
當(dāng)a＞1時，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴當(dāng)a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．…（8分）
（3）①當(dāng)n＜a-2≤-1時，有0＜a＜1．
由（2）可知：f（x）在（n，a-2）為增函數(shù)，…（9分）
由其值域為（1，+∞）知

loga 1+n n-1 =1 a-2=-1

，無解  …（11分）
②當(dāng)1≤n＜a-2時，有a＞3．由（2）知：f（x）在（n，a-2）為減函數(shù)，
由其值域為（1，+∞）知

n=1 loga a-1 a-3 =1

…（13分）
得a=2+

3

，n=1．…（14分）

點評：本題主要考查了對數(shù)型函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，要先看真數(shù)部分在看整體的先后順序進(jìn)行，還要注意對底數(shù)的討論，總體來說本題很基礎(chǔ)、很典型，是不得不練的好題．