Question

11．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-12{x^2}+12x，x∈[{0，1}]\\-4{x^2}+12x-8，x∈（1，2]\end{array}$，若函數(shù)g（x）=f（x）-a|x|（a≠0），在區(qū)間[-3，3]上至多有9個零點，至少有5個零點，則a的取值范圍是$[20-8\sqrt{6}，12-8\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）是周期為4的周期函數(shù)，作出y=f（x）在[0，3]上的圖象，可得y=ax（a＞0）分別與函數(shù)y=-4x²+12x-8及y=-4（x-1）²+12（x-1）-8的圖象相切，再由判別式等于0求得a值，即可求得a的取值范圍．

解答 解：由題意可知，f（2）=0．
∴f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），
可知f（x）是周期為4的周期函數(shù)，又函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-12{x^2}+12x，x∈[{0，1}]\\-4{x^2}+12x-8，x∈（1，2]\end{array}$，
作出其在[0，3]上的圖象如圖：

要使函數(shù)g（x）=f（x）-a|x|（a≠0），在區(qū)間[-3，3]上至多有9個零點，至少有5個零點，
則函數(shù)y=ax（a＞0）與y=f（x）在區(qū)間（0，3]上至多有4個零點，至少有2個零點，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{y=-4{x}^{2}+12x-8}\end{array}\right.$，得4x²+（a-12）x+8=0，
由△=a²-24a+16=0，得a=12-8$\sqrt{2}$；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{y=-4（x-1）^{2}+12（x-1）-8}\end{array}\right.$，得4x²+（a-20）x+24=0，
由△=a²-40a+16=0，得a=$20-8\sqrt{6}$．
∴函數(shù)g（x）=f（x）-a|x|（a≠0）在區(qū)間[-3，3]上至多有9個零點，至少有5個零點的a的取值范圍是$[20-8\sqrt{6}，12-8\sqrt{2}]$．
故答案為：$[20-8\sqrt{6}，12-8\sqrt{2}]$．

點評 本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．