設(shè)P為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線與⊙O：x2+y2=12相交于M，N兩點(diǎn)，⊙O在M，N兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q．（1）若點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，
3
2
)，求直線MN的方程．（2）若P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程．
分析：（1）因?yàn)镻為橢圓上的一點(diǎn)，所以把y=
3
2
代入橢圓，可求P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而分類討論：當(dāng)P點(diǎn)為（1，
3
2
）時(shí)，因?yàn)橹本�MN是過(guò)P點(diǎn)，且與橢圓相切的，直線方程與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1聯(lián)立，判別式等于0，可求直線側(cè)斜率；同理可求當(dāng)P點(diǎn)為（-1，
3
2
）時(shí)，直線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），Q（x1，y1），可得橢圓
x2
4
+
y2
3
=1在P處的切線方程為
x0x
4
+
y0 y
3
=1，又可知切點(diǎn)弦MN所在直線的方程為x1x+y1y=12，由于表示相同直線，故可得坐標(biāo)關(guān)系，從而可求點(diǎn)Q的軌跡方程．
解答：解：（1）因?yàn)镻為橢圓上的一點(diǎn)，所以把y=
3
2
代入橢圓，得橫坐標(biāo)為1或-1
所以P點(diǎn)坐標(biāo)（1，
3
2
）或（-1，
3
2
）
當(dāng)P點(diǎn)為（1，
3
2
）時(shí)，因?yàn)橹本�MN是過(guò)P點(diǎn)，且與橢圓相切的，所以設(shè)y-1.5=k（x-1），與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1聯(lián)立，判別式等于0，即（4k2+3）x2+（-8k2+12k）x+（4k2-12k-3）=0，則k=-0.5，所以直線MN為x+2y-4=0
當(dāng)P點(diǎn)為（-1，
3
2
）時(shí)，因?yàn)橹本�MN是過(guò)P點(diǎn)，且與橢圓相切的，所以設(shè)y-1.5=k（x+1），與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1聯(lián)立，判別式等于0，即（4k2+3）x2+（8k2+12k）x+（4k2+12k-3）=0，則k=0.5，所以直線MN為x-2y+2=0
（2）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），Q（x1，y1）
∵P為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上的一個(gè)點(diǎn)，∴
x 02
4
+
y 02
3
=1
∵橢圓
x2
4
+
y2
3
=1在P處的切線方程為
x0x
4
+
y0 y
3
=1
又QM，QN為過(guò)點(diǎn)Q所引的⊙O：x2+y2=12的兩條切線，可知切點(diǎn)弦MN所在直線的方程為x1x+y1y=12
∴
x0
4
x1
=
y0
3
y1
=
1
12

故x0=
x1
3
，y0=
y1
4

∴
x
2
1
36
+
y
2
1
48
=1
∴點(diǎn)Q的軌跡方程
x
2
 
36
+
y
2
 
48
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題以圓與橢圓為載體，綜合考查軌跡問(wèn)題，考察學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度較大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)圓C1：x2+y2-10x-6y+32=0，動(dòng)圓C2：x2+y2-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求證：圓C1、圓C2相交于兩個(gè)定點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓
x24
+y2=1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C1的一條切線，切點(diǎn)為T(mén)1，過(guò)點(diǎn)P作圓C2的一條切線，切點(diǎn)為T(mén)2，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使無(wú)窮多個(gè)圓C2，滿足PT1=PT2？如果存在，求出所有這樣的點(diǎn)P；如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：
x24
+y2=1的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點(diǎn)M、N；
（I）設(shè)直線AP、BP的斜率分別為k1，k2求證：k1•k2為定值；
（Ⅱ）求線段MN長(zhǎng)的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動(dòng)點(diǎn)Q（m，n）在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，雙曲線C1：
x2
4
-
y2
b2
=1與橢圓C2：
x2
4
+
y2
b2
=1（0＜b＜2）的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在雙曲線C1上，線段OP與橢圓C2交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求證：
kAA1+kAA2
kPA1+kPA2
為定值（其中kAA1表示直線AA1的斜率，kAA2等意義類似）；
（II）證明：△OAA2與△OA2P不相似．
（III）設(shè)滿足{（x，y）|
x2
4
-
y2
m2
=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|
x2
4
-
y2
3
＞1，x∈R，y∈R} 的正數(shù)m的最大值是b，求b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•重慶一模）已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1d的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B為拋物線上的兩點(diǎn)，O是拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB．
（I）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)M（4，0）；
（III）設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P到直線x-y=0的最小值．

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