Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，且S₃=，S₆=，b_n=λa_n-n²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S₃=，S₆=，
∴q≠1，
∴=，=，
得：1+q³=，
∴q=-，a₁=2．
∴a_n=2×．
（Ⅱ）∵b_n=λa_n-n²，
∴b_n=2λ-n²，
由題意可知對任意n∈N^*，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，
∴b_n+1＜b_n，
即2λ-（n+1）²＜=2λ-n²，
即6λ＜2n+1對任意n∈N^*恒成立，
當n是奇數(shù)時，λ＞-，當n=1時，-取得最大值-1，故λ＞-1；
當n是偶數(shù)時，λ＜，當n=2時，取得最小值，故λ＜．
綜上可知，-1＜λ＜，即實數(shù)λ的取值范圍是（-1，）．
分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的求和公式列方程可求得q，從而可得數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）由于b_n=2λ-n²，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，b_n+1＜b_n，可得6λ＜2n+1對任意n∈N^*恒成立，對n分奇數(shù)與偶數(shù)討論即可求得實數(shù)λ的取值范圍．
點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的函數(shù)特性，在（Ⅱ）中，求得“6λ＜2n+1對任意n∈N^*恒成立”是關(guān)鍵，也是難點，考查綜合分析與運算的能力，屬于難題．