如圖，設點P是橢圓上的任意一點（異于左，右頂點A，B）．
（1）若橢圓E的右焦點為F，上頂點為C，求以F為圓心且與直線AC相切的圓的半徑；
（2）設直線PA，PB分別交直線與點M，N，求證：PN⊥BM．

【答案】分析：（1）先求出直線AC的方程，由直線與圓心相切的性質(zhì)可知，圓心到直線的距離等于半徑可求r
（2）要證明PN⊥BM，只要證明，先設P的坐標，及直線AP，BP與直線x=的交點M，N，由A，P，M三點共線可知AM，BM的斜率相等，AN，BN的斜率相等，結(jié)合點P在橢圓上，可尋求P，M，N的坐標的關(guān)系，代入即可證明
解答：（1）解：由題意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，1），F(xiàn)（，0），
直線AC的方程為x-2y+2=0（2分）
設圓F的半徑為r，則由以F為圓心的圓與直線AC相切可得圓心F到直線AC的距離為圓的半徑r
∴r==（5分）
（2）設P（x，y），直線AP，BP分別交直線x=于M（），N（）兩點
∵A，P，M三點共線
∴KAP=KAM即，整理可得，（7分）
同理可得，，整理可得，（9分）
∴
∵P（x，y）在橢圓上
∴即可得（11分）
∴=×=（13分）
∴=•=
==
=
=
=0
∴PN⊥BM
點評：本題主要考查了點到直線的距離公司的應用，三點共線性質(zhì)的應用，直線與圓的相交關(guān)系的應用，及向量的數(shù)量積的性質(zhì)在證明幾何關(guān)系中的應用，屬于綜合性試題
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，設點P是橢圓E：
x2
4
+y2=1上的任意一點（異于左，右頂點A，B）．
（1）若橢圓E的右焦點為F，上頂點為C，求以F為圓心且與直線AC相切的圓的半徑；
（2）設直線PA，PB分別交直線l：x=
10
3
與點M，N，求證：PN⊥BM．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，已知橢圓C上的點（1，
3
2
）到F1、F2兩點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設點M是橢圓上的動點N（0，
1
2
），求|MN|的最大值．
（3）過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點，求△F1PQ的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江蘇省蘇州市高三（上）期末數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，設點P是橢圓上的任意一點（異于左，右頂點A，B）．
（1）若橢圓E的右焦點為F，上頂點為C，求以F為圓心且與直線AC相切的圓的半徑；
（2）設直線PA，PB分別交直線與點M，N，求證：PN⊥BM．

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