Question

 數(shù)學(xué)課上，張老師用六根長度均為a的塑料棒搭成了一個(gè)正三棱錐（如圖所示），然后他將其中的兩根換成長度分別為在和的塑料棒、又搭成了一個(gè)三棱錐，陳成同學(xué)邊聽課邊動(dòng)手操作，也將其中的兩根換掉，但沒有成功，不能搭成三棱錐，如果兩人都將BD換成了長為的塑料棒．

   （1）試問張老師換掉的另一根塑料棒是什么，而陳成同學(xué)換掉的另一根塑料棒又是什么？請你用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋陳成同學(xué)失敗的原因；

   （2）試證：平面ABD⊥平面CBD；

   （3）求新三棱錐的外接球的表面積．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）張老師換掉的另一根塑料棒是CD（或AD、BC、BA），而陳成同學(xué)換掉的另一根塑料棒是AC．……………………………3分

根據(jù)題意作出如圖所示的圖形，其中圖(1)表示陳 

成同學(xué)想搭成的三棱錐,取AC中點(diǎn)E，連結(jié)BE、

DE，因AB²+CB²=AC²=2a²，所以BE是直角

△  ABC斜邊上的中線，得BE=，同理，

△  DE=，從而由BE+DE==BD,不能構(gòu)成三角形，

△  所以圖(1)錯(cuò)誤． …………5分 

   （2）如圖(2)，不妨設(shè)張老師換掉的另一根塑料捧是CD，

取BD中點(diǎn)F，連結(jié)AF、CF，因△ABD是等腰三角形，

所以AF⊥BD，又△BCD是直角三角形．

所以CF＝BF＝DF．又AB=AC＝AD，

所以△ABF≌△ACF，從而AF⊥CF，又CF與BD確定平面BCD，

所以AF ⊥平面BCD．又AF平面ABD，

所以平面ABD⊥平面CBD． ……………………………9分

   （3）由（2）可知：三俊錐的外接球的球心必在直線AF 

上，設(shè)球半徑為R，因BF=，

AB=a，∴AF=，由,

所以新三棱錐的外接球的表面積S=．…………………………12分