Question

已知z是復(fù)數(shù)，z+i和

z

1-i

都是實(shí)數(shù)，（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)關(guān)于x的方程x²+x（1+z）-（3m-1）i=0有實(shí)根，求純虛數(shù)m．

Answer 1

分析：（1）設(shè)z=a+bi，根據(jù)z+i為實(shí)數(shù)可求出b的值，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出

z

1-i

的值，根據(jù)

z

1-i

為實(shí)數(shù)可求出a的值，從而求出復(fù)數(shù)z；
（2）設(shè)純虛數(shù)m=ci代入方程x²+x（1+z）-（3m-1）i=0，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可求出純虛數(shù)m．

解答：解：（1）設(shè)z=a+bi，則z+i=a+（b+1）i
∵z+i為實(shí)數(shù)∴b=-1

z

1-i

=

a+bi

1-i

=

a-i

1-i

=

(a-i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

a+1+(a-1)i

2

∵

z

1-i

為實(shí)數(shù)
∴a=1則z=1-i
（2）設(shè)純虛數(shù)m=ci則x²+x（2-i）-（3ci-1）i=0有實(shí)根
即x²+2x+3c+（1-x）i=0
∴x=1，c=-1
∴純虛數(shù)m為-i

點(diǎn)評：本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義和復(fù)數(shù)相等的充要條件，屬于中檔題．