Question

已知變量x，y滿足約束條件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）僅在點(diǎn)（3，1）處取得最大值，則a的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識(shí)，先畫出約束條件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2的可行域，再由目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）僅在點(diǎn)（3，1）處取得最大值，我們不難分析直線斜率的取值范圍．
解答：解：已知變量x，y滿足約束條件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．
在坐標(biāo)系中畫出可行域，
如圖為四邊形ABCD，其中A（3，1），
k_AD=1，k_AB=-1，
目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率為-a的直線系中的截距的大小，
若僅在點(diǎn)（3，1）處取得最大值，
則斜率應(yīng)小于k_AB=-1，
即-a＜-1，
所以a的取值范圍為（1，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y只在點(diǎn)A處取得最優(yōu)解，則過點(diǎn)A線z=ax+y與可行域只有一個(gè)交點(diǎn)，由此不難給出直線斜率-a的范圍，進(jìn)一步給出a的范圍，但在蟹題時(shí)要注意，區(qū)分目標(biāo)函數(shù)是取最大值，還是最小值，這也是這種題型最容易出錯(cuò)的地方．