Question

已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若方程f(x)=log4(a•2x-a)有且只有一個根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）根據(jù)方程f(x)=log4(a•2x-a)有且只有一個實根，化簡可得

4x+1

a•2x-a

=4

x

2

=2x有且只有一個實根，令t=2^x＞0，則轉(zhuǎn)化成新方程有且只有一個正根，結(jié)合函數(shù)的圖象討論a的取值，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I） 由題意得f（-x）=f（x），
即log4(4-x+1)+k(-x)=log4(4x+1)+kx，
化簡得log4

4-x+1

4x+1

=2kx，…（2分）
從而4^（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，
∴k=-

1

2

…（6分）
（II）由題意，原方程化為

4x+1

a•2x-a

=4

x

2

=2x且a•2^x-a＞0
即：令2^x=t＞0

(1-a)t2+at+1=0，(1) at-a＞0，(2)

…（8分）
函數(shù)y=（1-a）t²+at+1的圖象過定點（0，1），（1，2）如圖所示：
若方程（1）僅有一正根，只有如圖的三種情況，
可見：a＞1，即二次函數(shù)y=（1-a）t²+at+1的
開口向下都可，且該正根都大于1，滿足不等式（2），…（10分）
當(dāng)二次函數(shù)y=（1-a）t²+at+1的開口向上，
只能是與x軸相切的時候，
此時a＜1且△=0，即a=-2-2

2

也滿足不等式（2）
綜上：a＞1或a=-2-2

2

…（12分）

點評：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．屬于中檔題．