Question

在△ABC中，已知

tanA-tanB

tanA+tanB

=

c-b

c

，求證：B、A、C成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：先把已知條件等號左邊的分子分母利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦后，分子分母都乘以cosAcosB后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，右邊利用正弦定理化簡后，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，得到2cosA=1，然后在等號兩邊都乘以sinA后，利用二倍角的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡后，即可得到2A=B+C，得到三角成等差數(shù)列，得證．

解答：解：

tanA-tanB

tanA+tanB

=

sinA cosA - sinB cosB

sinA cosA + sinB cosB

=

sinAcosB-cosAsinB

sinAcosB+cosAsinB

=

sin(A-B)

sin(A+B)

=

c-b

c

=

sinC-sinB

sinC

，
因為sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，得到sin（A-B）=sinC-sinB，
即sinB=sin（A+B）-sin（A-B）=2cosAsinB，
得到2cosA=1，即2sinAcosA=sinA，即sin2A=sinA=sin（B+C），
由2A+B+C≠π，得到2A=B+C，
所以B，A，C成等差數(shù)列．

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、兩角和與差的正弦函數(shù)公式以及誘導(dǎo)公式化簡求值，是一道證明題．學生做題時始終注意三角形的內(nèi)角和為180°．