Question

在平面直角坐標系xOy中，點A在圓x²+y²-2ax=0（a≠0）上，M點滿足

OA

=

AM

，M點的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若直線y=x-1與曲線C交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=-1，求a的值．

Answer 1

分析：（I）根據向量關系，可得M與A坐標之間的關系，利用點A在圓x²+y²-2ax=0（a≠0）上，即可求得曲線C的方程；
（II）將直線y=x-1與曲線C聯立，利用韋達定理及

OP

•

OQ

=-1，建立方程，即可求a的值

解答：解：（I）設M（x，y），A（x₀，y₀）
∵M點滿足

OA

=

AM

，
∴（x₀，y₀）=（x-x₀，y-y₀）
∴

x0= 1 2 x y0= 1 2 y

∵點A在圓x²+y²-2ax=0（a≠0）上
∴（

1

2

x）²+（

1

2

y）²-2a×

1

2

x=0（a≠0）
∴曲線C的方程為x²+y²-4ax=0（a≠0）；
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
將直線y=x-1代入x²+y²-4ax=0，整理得2x²-2（2a+1）x+1=0
∴x1x2=

1

2

，x₁+x₂=2a+1
∴y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2- (x1+x2)+1=-2a+

1

2

∵

OP

•

OQ

=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=-1
∴

1

2

-2a+

1

2

=-1
∴a=1．
當a=1時，△=6²-8＞0
∴a的值為1．

點評：本題重點考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定動點坐標之間的關系，將向量關系轉化為坐標之間的關系．