Question

（2009•河西區(qū)二模）一個(gè)袋中裝有大小相同的白球和黑球共10個(gè)，已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是

13

15

．
（I）求原來(lái)袋中白球的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）從原來(lái)袋中任意摸出3個(gè)球，記得到黑球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）解法一：設(shè)袋中有白球x個(gè)，由題意得

C 1 x C 1 10-x + C 2 x

C 2 10

=

13

15

，解方程可得答案
解法二：設(shè)黑球有x個(gè)，則全是黑球的概率為

2

15

，由

C 2 x

C 2 10

=

2

5

，解方程可得答案
（II）根據(jù)（I）中結(jié)論，可得ξ取值可能為0，1，2，3，求出變量的分布列后，代入期望公式，可得答案．

解答：解法一：（I）設(shè)袋中有白球x個(gè)，由題意得

C 1 x C 1 10-x + C 2 x

C 2 10

=

13

15

，
即x(10-x)+

x(x-1)

2

=39
解得x=6或x=13（舍），故有白球6個(gè)
解法二（I）設(shè)黑球有x個(gè)，則全是黑球的概率為

2

15

，由

C 2 x

C 2 10

=

2

5

即x（x-1）=12，解得x=4或x=-3（舍），故有黑球4個(gè)，白球6個(gè)
（Ⅱ）P(ξ=0)=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

，P(ξ=1)=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，P(ξ=2)=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P(ξ=3)=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

故分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 6	1 2	3 10	1 30

數(shù)學(xué)期望Eξ=

1

6

×0+

1

2

×1+

3

10

×2+

1

30

×30=

6

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，等可能事件的概率，其中求出白球的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵．