Question

設(shè)a、b、c分別是先后擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子三次得到的點(diǎn)數(shù)．
（1）求使函數(shù)f(x)=

1

3

bx3+

1

2

(a+c)x2+(a+c-b)x-4在R上不存在極值點(diǎn)的概率；
（2）設(shè)隨機(jī)變量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）由題意可得：f′（x）=bx²+（a+c）x+（a+c-b）…（1分）
若f（x）在R上不存在極值點(diǎn)，則f′（x）≥0恒成立
∴△=（a+c）²-4b（a+c-b）≤0…（2分）即（a+c-2b）²≤0
∴a+c=2b
∴a、b、c成等差數(shù)列…（4分）
又a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}
按公差分類a、b、c成等差數(shù)列共有6+4×2+4=18種情況
故函數(shù)f（x）在R上不存在極值點(diǎn)的概率P=

18

6×6×6

=

1

12

…（6分）
（2）隨機(jī)變量ξ可能取的值為0，1，2，3，4，5
若ξ=0，則a=b，所以P(ξ=0)=

6

36

=

1

6

若ξ=1，則a=b+1或b=a+1，所以P(ξ=1)=

10

36

=

5

18

同理：P(ξ=2)=

8

36

=

2

9

，P(ξ=3)=

6

36

=

1

6

，P(ξ=4)=

4

36

=

1

9

，P(ξ=5)=

2

36

=

1

18

…（10分）
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 6	5 18	2 9	1 6	1 9	1 18

所以Eξ=0×

1

6

+1×

5

18

+2×

2

9

+3×

1

6

+4×

1

9

+5×

1

18

=

35

18

…（13分）