Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，
且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

（1）A=120°；（2）當(dāng)B=30°時(shí)，sinB+sinC取得最大值1．

解析試題分析：（1）根據(jù)正弦定理，設(shè)＝2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc再與余弦定理聯(lián)立方程，可求出cosA的值，進(jìn)而求出A的值．
（2）根據(jù)（1）中A的值，可知c=60°-B，化簡(jiǎn)得sin（60°+B）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，得出最大值．
試題解析：（1）設(shè)=2R
則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC           .2分
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
方程兩邊同乘以2R
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c               2分
整理得a²=b²+c²+bc                .1分
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA                 1分
故cosA=-，A=120°             2分
（2）由（1）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）         1分
=             2分
故當(dāng)B=30°時(shí)，sinB+sinC取得最大值1       .1分
考點(diǎn)：余弦函數(shù)的應(yīng)用．