Question

2．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l：y=kx+m相交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足：①OP與OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之和為2；②直線l與圓x²+y²=1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率公式求得a²=4b²，將點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，求得m²+k=1，由$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{1-k≥0}\end{array}\right.$，即可求得k的取值范圍，由點(diǎn)到直線的距離即可求得k和m的值，求得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）依題意，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則a²=4b²，
由橢圓過點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
解得：a²=4，b²=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
由x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，
由k_OP+k_OQ=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{1}+{y}_{2}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）{x}_{2}+（k{x}_{2}+m）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2，
2（k-1）x₁x₂+m（x₁+x₂）=0，
∴2（k-1）×$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$+m×（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）=0，
整理得：m²+k=1，
由△=16（4k²-m²+1）=16（4k²+k），
$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{2}+k＞0}\\{{m}^{2}=1-k≥0}\end{array}\right.$，解得：k＜-$\frac{1}{k}$，或0＜k≤1，
直線與圓x²+y²=1相切，則$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
聯(lián)立解得k=0（舍去），k=-1，
∴m²=2，即m=±$\sqrt{2}$，
∴直線l的方程y=x±$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式及點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．