Question

設(shè){a_n}是集合{a_n|a_n＝2^t＋2^s，0≤s＜t，且s、t∈Z}中的所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a₁＝3，a₂＝5，a₃＝6，a₄＝9，a₅＝10，a₆＝12，…．

將數(shù)列{a_n}各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下三角形數(shù)表：

(1)寫出這個三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；

(2)求a₁₀₀．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)第四行：17　18　20　24 　　第五行：33　34　36　40　48 　　(2)方法一：設(shè)n為an的下標(biāo)，觀察每行第一個元素下標(biāo)，三角形數(shù)表第一行第一個元素下標(biāo)為1． 　　第二行第一個元素下標(biāo)為2＝＋1． 　　第三行第一個元素下標(biāo)為4＝＋1． 　　…… 　　第七行第一個元素下標(biāo)為＋1． 　　第七行第s個元素下標(biāo)為＋s．該元素為2t＋2s－1， 　　據(jù)此判斷a100所在行． 　　∵． 　　∴a100是第14行的第9個元素． 　　∴a100＝214＋29－1＝16 640． 　　方法二：觀察三角形數(shù)表的排列中每行元素個數(shù)和，此數(shù)列有1＋2＋3＋…＋n＝項． 　　當(dāng)n＝13時，＝91＜100， 　　n＝14時，＝105＞100， 　　故知a100是第14行第9個數(shù)． 　　所以a100＝214＋29－1＝16 640． 　　方法三：設(shè)a100＝2t0＋2s0，只須確定正整數(shù)t0，s0． 　　由于數(shù)列{an}中小于2t0的項構(gòu)成的子集中元素個數(shù)為 　　＜100， 　　滿足此式的最大整數(shù)t0＝14． 　　又100－＝s0＋1， 　　∴s0＝8． 　　∴a100＝214＋28＝16 640．