Question

已知點(diǎn)P為橢圓C：+=1 （b＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，且|OP|的最小值為1，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則b=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，設(shè)P（2cosα，bsinα），可得|OP|²=（b²+4）+（2-b²）cos2α．因?yàn)閨OP|的最小值為1，所以（b²+4）-|2-b²|=1，再加以討論即可解出b的值為1．
解答：解：∵點(diǎn)P為橢圓C：+=1 （b＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)P（2cosα，bsinα），可得
|OP|²=4cos²α+b²sin²α=（b²+4）+（2-b²）cos2α
∵|OP|的最小值為1，得|OP|²的最小值也為1
∴（b²+4）-|2-b²|=1
當(dāng)b²≥4時(shí)，方程化為（b²+4）-（b²-2）=1得4=1，無實(shí)數(shù)解；
當(dāng)b²＜4時(shí)，（b²+4）-（2-b²）=1，即b²=1，解之得b=1
綜上所述，所求b的值為1
故答案為：1
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離最小值為1，求參數(shù)b的值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)最短距離求法等知識(shí)，屬于中檔題．