Question

11．已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（Ⅱ）求證：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若不等式f（k•2^x）+f（2^x-4^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）取x=y=0即可求得f（0）的值，令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，從而可判斷其奇偶性；
（2）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判斷其符號即可證得f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）因為f（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，由此可以將不等式f（k•2^x）+f（2^x-4^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，轉化為k•2^x＜-2^x+4^x+2即4^2x-（1+k）2^x+2＞對任意x∈R恒成立，再通過換元進一步轉化為二次不等式恒成立的問題即可解出此時的恒成立的條件．

解答 解：（1）取x=y=0得，則f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0；
函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
證明：已知函數(shù)的定義域為R，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；    
（2）證明：設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．           
（3）∵f（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，
由f（k•2^x）+f（2^x-4^x-2）＜0得
f（k•2^x）＜-f（2^x-4^x-2）=f（-2^x+4^x+2）
∴k•2^x＜-2^x+4^x+2即2^2x-（1+k）2^x+2＞對任意x∈R恒成立，
令t=2^x＞0，問題等價于t²-（1+k）t+2＞0，
設f（t）=t²-（1+k）t+2，其對稱軸$x=\frac{k+1}{2}$
當$\frac{k+1}{2}＜0$即k＜-1時，f（0）=2＞0，符合題意，
當$\frac{k+1}{2}≥0$即k≥-1時，對任意t＞0，f（t）＞0恒成立，
等價于$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k+1}{2}≥0}\\{△={（1+k）}^{2}-8＜0}\end{array}\right.$解得-1≤k＜-1+2$\sqrt{2}$
綜上所述，當k＜-1+2$\sqrt{2}$時，不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，函數(shù)奇偶性的判斷以及不等式恒成立問題，利用函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵．