Question

【題目】已知函數(shù)的最大值與最小值之和為a2+a+1（a＞1）．

（1）求a的值；

（2）判斷函數(shù)g（x）=f（x）-3在[1，2]的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）一個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）函數(shù)在a＞1時(shí)單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)的最大值與最小值之和為a2+a+1．即可得出．

（2）由（1）可得函數(shù)f（x）=log2x+2x．可得函數(shù)f（x）在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，可得g（x）=f（x）-3在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，最多有一個(gè)零點(diǎn)．再利用零點(diǎn)存在的判定定理即可得出．

解：（1）函數(shù)在a＞1時(shí)單調(diào)遞增，

又函數(shù)的最大值與最小值之和為a2+a+1．

∴f（1）+f（2）=0+a+loga2+a2=a2+a+1，解得a=2．

（2）由（1）可得函數(shù)f（x）=log2x+2x．

可得函數(shù)f（x）在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，

可得g（x）=f（x）-3在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，最多有一個(gè)零點(diǎn)．

∵g（1）=f（1）-3=2-3=-1＜0，g（2）=f（2）-3=-3=2＞0，

可得函數(shù)在[1，2]內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．