Question

17．已知函數f（x）=（x-m）（e^x-1）+x+1，m∈R．
（1）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（2）若m為整數，當x＞0時，f（x）＞0恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導函數，討論m的取值，研究函數在[0，1]上的單調性進行求解即可得到結論．
（2）把當x＞0時f（x）＞0恒成立，轉化為m＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，構造函數g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，利用導數求得函數g（x）的最小值的范圍得答案．

解答 解：（1）函數的導數f′（x）=（e^x-1）+（x-m）e^x+1=（x+1-m）e^x，
由f′（x）=0得x=m-1，
由f′（x）＞0得x＞m-1，此時函數f（x）為增函數，
由f′（x）＜0得x＜m-1，此時函數f（x）為減函數，
即當x=m-1時，函數取得極小值，f（m-1）=）=-（e^m-1-1）+m，．
若m-1＜0即m＜1時，函數f（x）在[0，1]上是增函數，此時函數的最小值為f（0）=1，
若m-1＞1即m＞2時，函數f（x）在[0，1]上是減函數，此時函數的最小值為f（1）=（1-m）（e-1）+2，
若0≤m-1≤1，即1≤m≤2時，函數的最小值為f（m-1）=）=-（e^m-1-1）+m；
（2）當x＞0時，e^x-1＞0，
∴不等式f（x）＞0，等價為（x-m）（e^x-1）+x+1＞0，即m＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x  ①
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
函數h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點，
故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點．
設此零點為a，則a∈（1，2）．
當x∈（0，a）時，g′（x）＜0；當x∈（a，+∞）時，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（a）．由g′（a）=0，可得e^a=a+2，
∴g（a）=a+1∈（2，3），
由于①式等價于m＜g（a）．∴m＜2，
故整數m的最大值為2．

點評 本題考查了利用導數求函數的最小值，以及函數恒成立問題，著重考查了數學轉化思想方法，考查了函數最值的求法，利用參數分離法以及分類討論的思想是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．