Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，

2

2

），且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)直線l：mx+ny+

1

3

n=0（m，n∈R）交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的動(dòng)圓恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，1）．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題設(shè)知a=

2

b，所以

x2

2b2

+

y2

b2

=1，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，

2

2

），代入可得b=1，a=

2

，由此可知所求橢圓方程
（2）首先求出動(dòng)直線過(guò)（0，-

1

3

）點(diǎn)．當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x²+（y+

1

3

）²=

16

9

；當(dāng)l與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．由

x2+(y+ 1 3 )2= 16 9 x2+y2=1

．由此入手可求出點(diǎn)T的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．
∴a=

2

b，∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，

2

2

），代入可得b=1，
∴a=

2

，故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1（3分）
（2）證明：因?yàn)閯?dòng)直線過(guò)（0，-

1

3

）點(diǎn)．
當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x²+（y+

1

3

）²=

16

9

；
當(dāng)l與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．
由

x2+(y+ 1 3 )2= 16 9 x2+y2=1

，解得x=0，y=1，
所以當(dāng)l與y軸平行時(shí)以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（0，1）
若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

所以（18k2+9）x2-12kx-16=0，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）則x₁+x₂=

12k

18k2+9

，x1x2=

-16

18k2+9

（9分）
設(shè)定點(diǎn)（0，1）為T，又因?yàn)?span id="6161161" class="MathJye">

TA

=（x₁，y₁-1），

TB

=（x₂，y₂-1），
所以

TA

•

TB

=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=（1+k²）x₁x₂-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=

-16(1+k2)

18k2+9

-

4

3

k

12k

18k2+9

+

16

9

=0，
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，計(jì)算量較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．