Question

已知數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)與數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，且對(duì)任意的n∈N^*，都有：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n+1-b_n}是等差數(shù)列，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）問(wèn)是否存在k（k＞3，k∈N），使得．若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=8，當(dāng)n≥2時(shí)a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n與原等式作差得2^n-1a_n=8即a_n=2^4-n，驗(yàn)證首項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)與數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，求出{b_n}的前三項(xiàng)，得到{b_n+1-b_n}是以-4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，然后利用累加法可得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）假設(shè)存在k（k＞3，k∈N），使得，從而b_k-a_k＜1，而當(dāng)k≥4時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，則f（k）≥f（4）=1這與b_k-a_k＜1矛盾，故適合題意的自然數(shù)k不存在．
解答：解：（1）當(dāng)n=1，a₁=8
當(dāng)n≥2時(shí)a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n①
a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=8（n-1）②
①-②⇒2^n-1a_n=8⇒a_n=2^4-n（對(duì)n=1也成立）
故a_n=2^4-n…（4分）
（2）依題b₁=8，b₂=4，b₃=2．
∴{b_n+1-b_n}是以-4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
∴b_n+1-b_n=2n-6
由累加法可得b_n=n²-7n+14…（8分）
（3）假設(shè)存在k（k＞3，k∈N），使得
即⇒，即b_k-a_k＜1…（10分）
而當(dāng)k≥4時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，…（12分）
∴f（k）≥f（4）=1這與b_k-a_k＜1矛盾．故適合題意的自然數(shù)k不存在．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及遞推關(guān)系和累積法的運(yùn)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．