Question

已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x+

1

x

+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱(chēng)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）（文）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在區(qū)間（0，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（理）若g（x）=f（x）+

a

x

，且g（x）在區(qū)間（0，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（0，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（-x，2-y）在h（x）的圖象上．由此可求出f（x）．
（2）（文）由題意知g（x）=x²+ax+1．由g（x）在（0，2]上遞減可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（理）由題意知g′（x）=1-

a+1

x2

，g（x）在（0，2]上遞減，1-

a+1

x2

≤0在x∈（0，2]時(shí)恒成立，由此能夠推導(dǎo)出a的范圍．

解答：解：（1）設(shè)f（x）圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（0，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（-x，2-y）在h（x）的圖象上．
∴2-y=-x+

1

-x

+2．
∴y=x+

1

x

，即f（x）=x+

1

x

．
（2）（文）g（x）=（x+

1

x

）•x+ax，
即g（x）=x²+ax+1．
g（x）在（0，2]上遞減?-

a

2

≥2，
∴a≤-4．
（理）g（x）=x+

a+1

x

．
∵g′（x）=1-

a+1

x2

，g（x）在（0，2]上遞減，
∴1-

a+1

x2

≤0在x∈（0，2]時(shí)恒成立，
即a≥x²-1在x∈（0，2]時(shí)恒成立．
∵x∈（0，2]時(shí)，（x²-1）_max=3，
∴a≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．