Question

（2009•重慶模擬）已知雙曲線C₁的漸近線方程是y=±x，且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長是

2

+1．
（I）求以C₁的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C₁的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓C₂的方程；
（II）AB是橢圓C₂的長為

2

的動弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意知雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)雙曲線C₁的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，利用雙曲線C₁的漸近線方程是y=±x，且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長是

2

+1，即可求得方程；
（II）分類討論：（1）當(dāng)直線AB斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x=m，求得A，B的坐標(biāo)，可求△OAB的面積；（2）當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m代入

x2

2

+y2=1，進(jìn)而求出面積的表達(dá)式，再研究△OAB的面積S的取值范圍即可．

解答：解：（I）由題意知雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)雙曲線C₁的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
則

b a =1 a2 a2+b2 (2+ 2 )= 2  +1

，解得a=b=1
∴雙曲線C₁的方程為x²-y²=1，
∴雙曲線的兩個頂點(diǎn)為（-1，0），（1，0），焦點(diǎn)為（

2

，0），（-

2

，0）
∵橢圓C₂以C₁的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C₁的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)
∴橢圓C₂的兩個焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0），頂點(diǎn)為（

2

，0），（-

2

，0）
∴橢圓C₂的方程為

x2

2

+y2=1
（II）（1）當(dāng)直線AB斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x=m，
則A(m，

2

2

)，B(m，-

2

2

)代入

x2

2

+y2=1得m=±1，
∴△OAB的面積S=

2

2

（2）當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m代入

x2

2

+y2=1
得（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-1）=0
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則
x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-1)

1+2k2

∴2=|AB|²=（1+k²）(x1-x2)2
∴m2=(1+2k2)-

(1+2k2)2

4(1+k2)

又原點(diǎn)O到AB的距離為

|m|

1+k2

∴S=

1

2

×

2

×

|m|

1+k2

∴S2=

(2k2+3)(2k2+1)

8(k2+1)2

設(shè)k²+1=t（t≥1），則S2=

4t2 -1

8t2

=

1

2

-

1

8t2

∵t≥1，∴0＜

1

t2

≤1
∴

3

8

≤

1

2

-

1

8t2

＜

1

2

∴

6

4

≤S＜

2

2

綜合（1）（2）可知，△OAB的面積S的取值范圍是S∈[

6

4

，

2

2

]．

點(diǎn)評：本題以雙曲線的性質(zhì)為載體，考查雙曲線、橢圓的方程，考查三角形的面積，同時考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性