如圖,已知三棱錐P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D為AB中點(diǎn),M為PB的中點(diǎn),且△PDB是正三角形,PA⊥PC.
(I)求證:DM∥平面PAC;
(II)求證:平面PAC⊥平面ABC;
(Ⅲ)求三棱錐M-BCD的體積.
分析:(1)在三角形PAB中,利用中位線定理可得DM∥PA,再用線面平等的判定定理可以證出DM∥平面PAC;
(2)在三角形PAB中,根據(jù)中線PD=
1
2
AB,證出PA⊥PB.再結(jié)合PA⊥PC,利用線面垂直的判定定理證出AP⊥平面PBC,從而得到AP⊥BC.同理,證出BC⊥平面PAC,最后用面面垂直的判定定理可以得到平面PAC⊥平面ABC;
(3)根據(jù)前面的證明,不難得到DM⊥平面BCM,則DM是三棱錐D-BCM的高,根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù),求出DM=
1
2
PA=5
3
,S△BCM=
1
2
S△PBC=2•
21
,從而得到VM-BCD=VD-BCM=
1
3
×5
3
×2
21
=10
7
解答:解:(1)∵△PAB中,D為AB中點(diǎn),M為PB中點(diǎn),
∴DM∥PA
∵DM?平面PAC,PA?平面PAC,
∴DM∥平面PAC…(4分)
(2)∵D是AB的中點(diǎn),△PDB是正三角形,AB=20,
PD=DB=AD=
1
2
AB=10
.…(5分)
∴△PAB是直角三角形,且AP⊥PB,…(6分)
又∵AP⊥PC,PB∩PC=P,PB、PC?平面PBC
∴AP⊥平面PBC.            …(8分)
∵BC?平面PBC
∴AP⊥BC.                 …(10分)
又∵AC⊥BC,AP∩AC=A,AP、AC?平面PAC.
∴BC⊥平面PAC.…(12分)
∵BC?平面ABC.
∴平面PAC⊥平面ABC.…(14分)
(3)由(1)知DM∥PA,由(2)知PA⊥平面PBC,
∴DM⊥平面PBC.…(15分)
∵正三角形PDB中易求得DM=5
3
,…(16分)
S△BCM=
1
2
S△PBC=
1
2
1
2
BC•PC=
1
4
•4•
102-42
=2
21
.…(17分)
VM-BCD=VD-BCM=
1
3
×5
3
×2
21
=10
7
.…(18分)
點(diǎn)評(píng):本題給出一個(gè)特殊的三棱錐,通過(guò)求證線面平行、面面垂直和求體積,著重考查了空間的線面平行判定定理和直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定和性質(zhì),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AN⊥BC于N,D是AB的中點(diǎn),且PA=1,AN=BN=CN=
2

(1)求證:PB⊥AC;
(2)求異面直線CD與PB所成角的大;
(3)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知三棱錐P-ABC中,PA⊥面ABC,其中正視圖為Rt△PAC,AC=2
6
,PA=4,俯視圖也為直角三角形,另一直角邊長(zhǎng)為2
2

(1)畫(huà)出側(cè)視圖并求側(cè)視圖的面積;
(2)求三棱錐P-ABC體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知三棱錐P-ABC的側(cè)面PAB是等邊三角形,D是AB的中點(diǎn),PC=BC=AC=2,PB=2
2

(1)證明:AB⊥平面PCD;
(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•河西區(qū)二模)如圖,已知三棱錐P-ABC中,底面△ABC是邊長(zhǎng)為4
2
的等邊三角形,又PA=PB=2
6
,PC=2
10

(I)證明平面PAB⊥平面ABC;
(Ⅱ)求直線PB與平面PAC所成角的正弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案