Question

【題目】(1)已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程；

(2) 求與雙曲線共漸近線，且過點的雙曲線方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用兩圓內(nèi)切、外切時，圓心距與半徑之間的關(guān)系，得PM+PN=4，利用橢圓定義，求圓心的軌跡方程；

（2）設(shè)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為t（t＞0），代入點 即可求出雙曲線方程.

(1) 圓M：（x+1）2+y2=1，圓心M(-1，0),半徑為1，

圓N：（x-1）2+y2=9，圓心N(1，0),半徑為3，

動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，如圖，

設(shè)動圓P半徑為R， 動圓P與圓M外切，則PM=1+R，

動圓P與圓N內(nèi)切，則PN=3-R，

∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距離之和為定值．∴P是以M、N為焦點的橢圓．

∵MN的中點為原點，∴橢圓中心在原點，∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，∴b2=a2-c2=4-1=3，

∴動圓圓心的軌跡方程

（2）設(shè)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為λ(λ≠0)，

∵點在雙曲線上，∴ ，解得，

故所求雙曲線方程為.