Question

如圖(1)所示，⊙O的直徑AB＝4，點C，D為⊙O上兩點，且∠CAB＝45°，∠DAB＝60°，F為的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖(2)所示)．

(1)求證：OF∥平面ACD；

(2)在上是否存在點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點G的位置，并求點G到平面ACD的距離；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）見解析（2）存在，h＝

【解析】(1)證明：如圖所示，聯結CO，

∵∠CAB＝45°，∴CO⊥AB，

又∵F為的中點，∴∠FOB＝45°，

∴OF∥AC.

∵OF平面ACD，AC平面ACD，

∴OF∥平面ACD.

(2)設在上存在點G，使得FG∥平面ACD，聯結OG，如圖．

∵OF∥平面ACD，OF∩FG＝F，∴平面OFG∥平面ACD，

∴OG∥AD，∠BOG＝∠BAD＝60°.

因此，在上存在點G，使得FG∥平面ACD，且點G為的中點．

聯結AG，過C作CE⊥AD于E，聯結OE，設點G到平面ACD的距離為h.

∵S△ACD＝·AD·CE＝×2×＝，S△GAD＝S△OAD＝×2×＝，

∴由V三棱錐G－ACD＝V三棱錐C－AGD，得××h＝××2，則h＝.