Question

8．如圖，半徑為1的半圓O上有一動點B，MN為直徑，A為半徑ON延長線上的一點，且OA=2，∠AOB的角平分線交半圓于點C．
（1）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=3$，求cos∠AOC的值；
（2）若A，B，C三點共線，求線段AC的長．

Answer 1

分析 （1）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=3$，利用向量的數(shù)量積公式，即可求cos∠AOC的值；
（2）若A，B，C三點共線，可得$cosθ=\frac{3}{4}$，利用余弦定理，即可求線段AC的長．

解答 解：（1）設∠AOC=θ，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$（2分）∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=（{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}}）•（{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}}）={\overrightarrow{AO}^2}+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$
=4+1×2×cos（π-2θ）+1×2×cos（π-θ）+cosθ
=-4cos²θ-cosθ+6（2分）
∴-4cos²θ-cosθ+6=3，∴$cosθ=\frac{3}{4}，cosθ=-1$（舍去）（3分）
（2）A，B，C三點共線，
所以$\frac{cos2θ-2}{cosθ-2}=\frac{sin2θ}{sinθ}$（2分）∴$cosθ=\frac{3}{4}$（1分）
∴AC²=1+4-2×1×2×cosθ=2，∴$|{AC}|=\sqrt{2}$（2分）．

點評 本題考查向量的運算，考查余弦定理的運用，屬于中檔題．