Question

一個三角形數(shù)表按如下方式構成（如圖：其中項數(shù)）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個數(shù)是其肩上兩個數(shù)的和，例如：；為數(shù)表中第行的第個數(shù)．
（1）求第2行和第3行的通項公式和；
（2）證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列；
（3）求關于（）的表達式．

Answer 1

(1),；（2）證明見解析，；（3）．

試題分析：（1）根據(jù)定義，，因此
，；（2）由于第行的數(shù)依賴于第的數(shù)，因此我們可用數(shù)學歸納法證明；（3）設第行的公差為，
，而
，從而，即，于是有，由此可求得數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，而，由等差數(shù)列通項公式得，從而有．
試題解析：（1）
． （4分）
（2）由已知，第一行是等差數(shù)列，
假設第行是以為公差的等差數(shù)列，則由

（常數(shù)）
知第行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，且其公差為.
綜上可得，數(shù)表中除最后2行以外每一行都成等差數(shù)列．        （9分）
（3）由于，所以，      （11分）
所以，
由得，               （13分）
于是，即，         （15分）
又因為，所以，數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列， 所以，，所以（）．   （18分）