Question

設(shè)函數(shù)．
（I）若a＞0且a≠2，直線l與函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象相切于一點，求切線l的方程．
（II）若f（x）在[2，4]內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）求出其導函數(shù)，把切點的橫坐標代入導函數(shù)中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關(guān)于切點的橫坐標x的方程，求出切點的坐標，根據(jù)得出的切點坐標，同時由f（x）求出其導函數(shù)，把切點的橫坐標代入導函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點坐標和切線過原點寫出切線方程即可．
（Ⅱ）通過解f′（x），求其單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵=，∴g'（x）=2x
因為直線l與函f（x），g（x）的圖象相切于同一點=2x（4分）
解得（a≠2），（x=-1舍去）f'（1）=2，f（1）=2a；
，g'（1）=2，g（1）=1；，
①當x=1時，則l的方程為：y=2x-1
②當時，又因為點（也在f（x）
有即
令，
易得方程在a＞0且a≠2一定有解
所以l的方程為
綜上所述直線l的方程為y=2x-1或（6分）
（Ⅱ）∵=
要使f（x）在[2，4]為單調(diào)增函數(shù)，在[2，4]恒成立，
即≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x²-1）≥-2x即（2≤x≤4）（8分）
設(shè)（2≤x≤4），因為（x＞0）所以u（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f′（x）
所以當時在[2，4]為單調(diào)增函數(shù)；（10分）
同理要為單調(diào)減函數(shù)，在[2，4]恒成立，
易得，綜上，f（x）在[2，4]為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為或（12分）
點評：對于已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題的常見解法；設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）上可導，若f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，則可得f′（x）≥0，從而建立了關(guān)于待求參數(shù)的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，，則可得f′（x）≤0．