Question

已知O是線段AB外一點(diǎn)，若，．
（1）設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，試用向量、表示；
（2）如果在線段AB上有若干個(gè)等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論．說(shuō)明：第（2）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給予不同的評(píng)分．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形法則及向量共線的數(shù)乘表示，分別用向量、表示出，相加即得用向量、表示的表達(dá)式；
（2）可先對(duì)二等分點(diǎn)，四等分點(diǎn)進(jìn)行探究，歸納得出猜想，再數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．
解答：解：（1）如圖：點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)=，
則，同理，（2分）
所以（4分）
（2）層次1：設(shè)A₁是AB的二等分點(diǎn)，則；
設(shè)A₁、A₂、A₃是AB的四等分點(diǎn)，則等等（結(jié)論（2分），證明2分）
層次2：設(shè)A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點(diǎn)，則等；（結(jié)論（2分），證明4分）
層次3：設(shè)A₁，A₂．，…，A_n-1是AB的n等分點(diǎn)，
則；（結(jié)論（3分），證明7分）
證：A₁，A₂，，A_n-1是線段n≥2的等分點(diǎn)，先證明這樣一個(gè)基本結(jié)論：（1≤k≤n-1，n、k∈N^*）．
由，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181001097767604/SYS201310241810010977676020_DA/20.png">和是相反向量，
則，
所以．
記，

相加得
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的運(yùn)算法則與向量的共線條件，歸納推理的思想，數(shù)學(xué)歸納法證明方程的方法，本題中先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，難度較大，解題時(shí)要注意運(yùn)算變形時(shí)認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)，避免因運(yùn)算失誤導(dǎo)致解題失敗．