Question

5．在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且|OA|=1，|OB|=2，|OC|=3，G為△ABC的重心，則$\overrightarrow{OG}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）=-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 利用重心的性質(zhì)和向量的三角形法則可得出$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），再由向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：如圖所示，連接AG并延長(zhǎng)與BC相交于點(diǎn)D．
∵點(diǎn)G是底面△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$），
$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），
則$\overrightarrow{OG}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）
=$\frac{1}{3}$[（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）²-$\overrightarrow{OC}$²]=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$²）
=$\frac{1}{3}$（1+4+0-9）=-$\frac{4}{3}$．
故答案為：-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查重心的性質(zhì)和向量的三角形法則，考查向量垂直的條件和向量的平方即為模的平方，屬于中檔題．