【答案】
分析:(1)由已知解出g(x)的值,進而得到g′(x)的值,接下來采用分析證明法來分析,若證g(x)為R上的增函數(shù),只需證2e
2x-te
x+1>0,即證t<2e
x+e
-x,又因為2e
x+e
-x≥2
,且t<2
,所以即證,再利用綜合證明的方法寫出來即可.
(2)若證明g(x)在[a,b]上的減函數(shù),只需證明g′(x)<0,即2e
2x-te
x+1<0,t>2e
x+e
-x,因為y=2e
x+e
-x在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),故有最大值,令這個最大值為實數(shù)k即可.
(3)已知f(x)含有t,可以把f(x)轉(zhuǎn)換成關(guān)于t的一元二次函數(shù)F(t))=2t
2-2(e
x+x)t+e
2x+x
2+1,通過配方,易得F(t)≥
(e
x-x)
2+1,再令H(x)=e
x-x,通過求解H(x)的單調(diào)性和最值,可以得到H(x)的最小值為1.就可以得出f(t)≥
,即證.
解答:解:
(I)證明:由題設(shè)易得g(x)=e
2x-t(e
x-1)+x,g'(x)=2e
2x-te
x+1.又由
,且
得t<2e
x+e
-x,
te
x<2e
2x+1,即g'(x)=2e
2x-te
x+1>0.由此可知,g(x)在R上是增函數(shù).
(II)因為g'(x)<0是g(x)為減函數(shù)的充分條件,所以只要找到實數(shù)k,使得t>k時g'(x)=2e
2x-te
x+1<0,即t>2e
x+e
-x在閉區(qū)間[a,b]上成立即可.因為y=2e
x+e
-x在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),故在閉區(qū)間[a,b]上有最大值,設(shè)其為k,于是在t>k時,g'(x)<0在閉區(qū)間[a,b]上恒成立,即g(x)在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù).
(III)設(shè)F(t)=2t
2-2(e
x+x)t+e
2x+x
2+1,即
,
易得
.令H(x)=e
x-x,則H'(x)=e
x-1,易知H'(0)=0.當(dāng)x>0時,H'(0)>0;當(dāng)x<0時,H'(0)<0.故當(dāng)x=0時,H(x)取最小值,H(0)=1.所以
,
于是對任意的x,t,都有
,即
.
點評:本小題主要考查二次函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最大值和最小值等知識,考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.