Question

（2011•北京模擬）已知函數(shù)f(x)=

x

2x+1

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_n•a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，并比較S_n與

n

2n+18

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a₁=f（1），a_n+1=f（a_n），代入即可求得a₁，a₂的值；
（Ⅱ）取倒數(shù)法，證明數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，即可求得求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）先裂項(xiàng)求和，再分類討論，利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（Ⅰ）a₁=f（1）=

1

2+1

=

1

3

，a₂=f（a₁）=f（

1

3

）=

1 3

2 3 +1

=

1

5

；
（Ⅱ）∵an+1=

an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2an+1

an

=2+

1

an

∴

1

an+1

-

1

an

=2
∵a₁=

1

3

，∴

1

a1

=3
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
∴

1

an

=2n+1，
∴an=

1

2n+1

（Ⅲ）bn=an•an+1=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴Sn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

n

6n+9

n=1時(shí)，S₁=

1

15

，

n

2n+18

=

1

20

，S_n大于

n

2n+18

；
n=2時(shí)，S₂=

2

21

，

n

2n+18

=

1

11

，S_n大于

n

2n+18

，
n=3時(shí)，S₃=

1

9

，

n

2n+18

=

3

26

，S_n小于

n

2n+18

；
n=4時(shí)，S₄=

4

33

，

n

2n+18

=

2

17

，S_n大于

n

2n+18

；
猜想n≥4時(shí)，S_n大于

n

2n+18

；
證明如下：①n=4時(shí)，S₄=

4

33

，

n

2n+18

=

2

17

，S_n大于

n

2n+18

，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

k

6k+9

＞

k

2k+18

，∴2^k＞6k-9
n=k+1時(shí)，有2^k+1+18＞2（6k-9）+18＞6（k+1）+9，
∴

k+1

6(k+1)+9

＞

k+1

2k+1+18

，結(jié)論成立
由①②可知，結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查大小比較，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．