Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)x軸為始邊作兩銳角α，β，它們終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，且A，B橫坐標(biāo)分別為

7

10

2

，

3

10

10

．
（1）求tan∠AOB
（2）求α+2β的值．

Answer 1

分析：（1）由單位圓上點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)，求出各自的縱坐標(biāo)，確定出A與B坐標(biāo)，進(jìn)而求出tanα與tanβ的值，所求式子中的角度變形為β-α，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）根據(jù)A與B的坐標(biāo)，求出sinα，cosα，sinβ，cosβ的值，確定出cos2β與sin2β的值，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos（α+2β），將各自值代入求出cos（α+2β）的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α+2β的度數(shù)．

解答：解：（1）∵單位圓上的點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)分別為

7 2

10

，

3 10

10

，
∴A，B縱坐標(biāo)分別為

2

10

，

10

10

，即A（

7 2

10

，

2

10

），B（

3 10

10

，

10

10

），
∴tanα=

1

7

，tanβ=

1

3

，
∴tan∠AOB=tan（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

1 3 - 1 7

1+ 1 3 × 1 7

=

2

11

；
（2）由A與B的坐標(biāo)，得到sinα=

2

10

，cosα=

7 2

10

，sinβ=

10

10

，cosβ=

3 10

10

，
∴sin2β=2sinβcosβ=

3

5

，cos2β=cos²β-sin²β=

9

10

-

1

10

=

4

5

，
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=

7 2

10

×

4

5

-

2

10

×

3

5

=

2

2

，
∵tanα=

1

7

＜1，tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

3

4

＜1，
∴0＜α＜

π

4

，0＜2β＜

π

4

，即0＜α+2β＜

π

2

，
則α+2β=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及任意角的三角函數(shù)定義，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．