如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直線DH與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.

（Ⅰ）答案詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）要證明平面，只需證明垂直于面內(nèi)的兩條相交相交直線，由是菱形，故，再證明，從而可證明平面；（Ⅱ）由已知，選三條兩兩垂直的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線的方向向量坐標(biāo)，以及面法向量的坐標(biāo)，設(shè)直線與平面所成角為，則；（Ⅲ）先求二面角兩個(gè)半平面的法向量，再求法向量的夾角，通過觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，決定二面角余弦值的正負(fù)，該題中面的法向量就是，只需求面
的法向量即可.
試題解析：（Ⅰ）證明：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/3b/0/130ls4.png" style="vertical-align:middle;" />是菱形，所以 .
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/4c/4/qnmnd.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且四邊形是矩形，所以平面，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/b2/6/csa0b2.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以 . 因?yàn)?，所以 平面.
（Ⅱ）解：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/4a/a/1gcyv2.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，分別為的中點(diǎn)，所以 ，又因?yàn)?平面，所以 平面，由，得兩兩垂直.所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/3b/0/130ls4.png" style="vertical-align:middle;" />是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，
所以 ，，，，，，.   
因?yàn)?平面， 所以平面的法向量. 設(shè)直線與平面所成角為，由， 得 ，所以直線與平面所成角的正弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，.

(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)？使得二面角的大小為60°，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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如圖，是圓的直徑，垂直圓所在的平面，是圓上的點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，為的重心，求證：//平面．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．求證：

（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．

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如圖，四邊形是正方形，平面，，，，，分別為，，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．

(1)求證：AB∥平面PCD；
(2)求證：BC⊥平面PAC；

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如圖，長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）求證：直線平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求與平面所成的角大小.

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如圖，四棱錐中，底面為梯形,∥, ，平面,為的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值

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如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且為正三角形.

（1）求證：平面；
（2）若，，求點(diǎn)到平面的距離．

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