Question

已知函數.

（1）證明：；

（2）當時，，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查導數的運算以及利用導數研究函數的單調性、最值等基礎知識，考查綜合分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，因為，所求證，所以只需分母即可，設函數，對求導，判斷函數的單調性，求出最小值，證明最小值大于0即可，所求證的不等式的右邊，需證明函數的最大值為1即可，對求導，判斷單調性求最大值；第二問，結合第一問的結論，討論的正負，當時，，而與矛盾，當時，當時，與矛盾，當時，分母去分母，等價于，設出新函數，需要討論的情況，判斷在每種情況下，是否大于0，綜合上述所有情況，寫出符合題意的的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）設，則．

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增．

所以．

又，故．            2分

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

所以．

綜上，有．            5分

（Ⅱ）（1）若，則時，，不等式不成立．   6分

（2）若，則當時，，不等式不成立．   7分

（3）若，則等價于．   ①

設，則．

若，則當，，單調遞增，． 9分

若，則當，，單調遞減，．

于是，若，不等式①成立當且僅當．       11分

綜上，的取值范圍是．

考點：1.利用導數判斷函數的單調性；2.利用導數研究函數的最值；3.恒成立問題.