Question

如圖ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明：DE⊥面PBC；
（2）求二面角C-PB-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）由PD⊥平面ABCD得DE⊥BC，DE⊥PC．由線面垂直的判定定理得DE⊥平面PBC．
（2）由PB⊥FD．結(jié)合EF⊥PB，由二面的定義可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角，解三角形EFD即可得到答案．

解答：證明：（1）∵PD⊥面ABCD，BC?面ABCD
∴PD⊥BC，
又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，PD，DC?面PDC
∴BC⊥面PDC
又∵ED?面PDC
∴BC⊥DE，
又∵PD=DC，E是PC的中點
∴DE⊥PC
又∵BC∩PC=C，BC，PC?面PBC
∴DE⊥面PBC
（2）作EF⊥PB于F，連DF，
∵DE⊥面PBC，PB?面PBC
∴DF⊥PB
所以∠EFD是二面角的平面角
∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=2

2

，DE=

1

2

PC=

2

∵PD⊥DB，
∴PB=

PD2+DB2

=2

3

DF=

PD•DB

PB

=

2 6

3

由（1）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，∴DE⊥平面PBC．
∵EF?平面PBC，∴DE⊥EF．
在Rt△DEF中，sin∠EFD=

DE

DF

=

3

2

∴∠EFD=60°．故所求二面角C-PB-D的大小為60°．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中幾何法的關(guān)鍵是熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)及幾何特征，建立良好的空間想像能力，幾何法的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系及線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．