如圖ABCD是正方形,PD⊥面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.
(1)證明:DE⊥面PBC;
(2)求二面角C-PB-D的大。
分析:(1)由PD⊥平面ABCD得DE⊥BC,DE⊥PC.由線面垂直的判定定理得DE⊥平面PBC.
(2)由PB⊥FD.結(jié)合EF⊥PB,由二面的定義可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角,解三角形EFD即可得到答案.
解答:證明:(1)∵PD⊥面ABCD,BC?面ABCD
∴PD⊥BC,
又∵BC⊥DC,PD∩DC=D,PD,DC?面PDC
∴BC⊥面PDC
又∵ED?面PDC
∴BC⊥DE,
又∵PD=DC,E是PC的中點
∴DE⊥PC
又∵BC∩PC=C,BC,PC?面PBC
∴DE⊥面PBC
(2)作EF⊥PB于F,連DF,
∵DE⊥面PBC,PB?面PBC
∴DF⊥PB
所以∠EFD是二面角的平面角
∵PD=DC=BC=2,∴PC=DB=2
2
,DE=
1
2
PC=
2

∵PD⊥DB,
∴PB=
PD2+DB2
=2
3

DF=
PD•DB
PB
=
2
6
3

由(1)知:DE⊥PC,DE⊥PB,PC∩PB=P,∴DE⊥平面PBC.
∵EF?平面PBC,∴DE⊥EF.
在Rt△DEF中,sin∠EFD=
DE
DF
=
3
2

∴∠EFD=60°.故所求二面角C-PB-D的大小為60°.
點評:本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,其中幾何法的關(guān)鍵是熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)及幾何特征,建立良好的空間想像能力,幾何法的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系,將空間線面關(guān)系及線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點.求證:
(1)PA∥平面BDE;
(2)平面PAC⊥平面BDE.
(3)若PO=1,AB=2,則異面直線OE與AD所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分14分)如圖ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,EPC

中點.求證:

(1)PA//平面BDE;

(2)平面PAC平面BDE

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇省南通通州區(qū)2010高三查漏補缺專項練習(xí)數(shù)學(xué)文 題型:解答題

(本小題滿分14分)如圖ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,EPC

中點.求證:

(1)PA//平面BDE

(2)平面PAC平面BDE

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇南通市通州區(qū)2010高三查漏補缺專項練習(xí)數(shù)學(xué)理 題型:解答題

(本小題滿分14分)如圖ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,EPC

中點.求證:

(1)PA//平面BDE;

(2)平面PAC平面BDE

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案