Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）＞0且對任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）-2，且f（1）=2，則f（2）=______，若令f（x₁）=a，f（x₂）=b且f（x₁+x₂）=a+b，則a的取值范圍是______．

Answer 1

解：∵對任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）-2，
∴令x₁=x₂=1，可得f（1+1）=f（1）+f（1）-2
結合f（1）=2，得f（2）=2f（1）-2=2×2-2=2；
∵f（x₁）=a，f（x₂）=b且f（x₁+x₂）=a+b，
∴結合f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）-2，得ab-2=a+b
∵f（x₁）=a，f（x₂）=b均為正數
∴ab-2=a+b≥2，當且僅當a=b時等號成立
即（）²-2-2≥0，解之得≤1-或≥1+
結合為正數，可得≥1+，所以ab≥（1+）²=4+2
即a的取值范圍是[4+2，+∞）
故答案為：2，[4+2，+∞）
分析：對已知等式令x₁=x₂=1，可得f（1+1）=f（1）+f（1）-2，即f（2）=2f（1）-2=2×2-2=2；若f（x₁）=a，f（x₂）=b且f（x₁+x₂）=a+b，利用已知等式化簡可得ab-2=a+b，結合基本不等式變形得到ab-2≥2，解關于的不等式得到≥1+（舍負），從而得到ab的取值范圍．
點評：本題給出特殊的抽象函數，求特殊的函數值并討論ab的取值范圍．著重考查了抽象函數的處理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．