Question

求函數(shù)f（x）=x³-x²+x+1在點(diǎn)（1，2）處的切線與函數(shù)g（x）=x²圍成的圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,定積分

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題意利用導(dǎo)數(shù)可求得過(guò)點(diǎn)（1，2）處的切線方程，利用定積分即可求得切線與函數(shù)g（x）=x²圍成的圖形的面積．

解答： 解：∵（1，2）為曲線f（x）=x³-x²+x+1上的點(diǎn)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)（1，2）處的切線的斜率為k，
則k=f′（1）=（3x²-2x+1）|_x=1=2，
∴過(guò)點(diǎn)（1，2）處的切線方程為：y-2=2（x-1），即y=2x．
∴y=2x與函數(shù)g（x）=x²圍成的圖形如圖：
由

y=2x y=x2

得二曲線交點(diǎn)A（2，4），
又S_△AOB=

1

2

×2×4=4，g（x）=x²圍與直線x=2，x軸圍成的區(qū)域的面積S=

∫

2 0

x²dx=

1

3

x³|

2 0

=

8

3

，
∴y=2x與函數(shù)g（x）=x²圍成的圖形的面積為：S′=S_△AOB-S=4-

8

3

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查定積分在求面積中的應(yīng)用，求得題意中過(guò)點(diǎn)（1，2）處的切線方程是關(guān)鍵，考查作圖與運(yùn)算能力，屬于中檔題．