Question

（北京卷理14）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動．設(shè)頂點(diǎn)p（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則f（x）的最小正周期為______；y=f（x）在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為______
說明：“正方形PABC沿X軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動．沿x軸正方向滾動指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．類似地，正方形PABC可以沿x軸負(fù)方向滾動．

Answer 1

不難想象，從某一個(gè)頂點(diǎn)（比如A）落在x軸上的時(shí)候開始計(jì)算，到下一次A點(diǎn)落在x軸上，這個(gè)過程中四個(gè)頂點(diǎn)依次落在了x軸上，而每兩個(gè)頂點(diǎn)間距離為正方形的邊長1，因此該函數(shù)的周期為4．下面考察P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，不妨考察正方形向右滾動，P點(diǎn)從x軸上開始運(yùn)動的時(shí)候，首先是圍繞A點(diǎn)運(yùn)動

1

4

個(gè)圓，該圓半徑為1，然后以B點(diǎn)為中心，滾動到C點(diǎn)落地，其間是以BP為半徑，旋轉(zhuǎn)90°，然后以C為圓心，再旋轉(zhuǎn)90°，這時(shí)候以CP為半徑，因此最終構(gòu)成圖象如下：故其與x軸所圍成的圖形面積為S=

1

2

 π×12+

1

4

 ×π×(

2

)2+2×

1

2

×1×1=π+1
故答案為：4，π+1