Question

【題目】已知數(shù)列{an+1﹣2an}是公比為2的等比數(shù)列，其中a1=1，a2=4．
（1）證明：數(shù)列{ }是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn；
（3）記Cn= （n≥2），證明： （ ）n＜ +…+ ≤1﹣（ ）n﹣1 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得an+1﹣2an=（a2﹣2a1）2n﹣1=2n…2分

兩端同除 2n+1得： = ，所以數(shù)列 { }是以首項為 ，公差為 的等差數(shù)列

（2）解：由 （1）知 = n，所以an=n2n﹣1，

Sn=120+221+…+n2n﹣1，

則2Sn=221+222…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

相減得：﹣Sn=120+21+…+2n﹣1﹣n2n，

所以﹣Sn= ﹣n2n，

即Sn=（n﹣1）2n+1

（3）解：Cn=2n﹣2，（n≥2）

∵ = ，

∴ +…+ +…+ = = ﹣ ，

當≥2時，∵2n+1﹣2n=2n≥4，∴2n+1﹣4≥2n ，

∴ ，

∴ +…+ +…+ = =1﹣

所以原不等式得證

【解析】（1）由已知得an+1﹣2an=（a2﹣2a1）2n﹣1=2n得： = ，即數(shù)列 { }是等差數(shù)列； （2）由 （1）知 = n，所以an=n2n﹣1 ， 利用錯位相減法可求數(shù)列{an}的前n項和Sn；（3）Cn=2n﹣2，（n≥2），利用 = 證明即可．
【考點精析】利用數(shù)列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系．