Question

若函數(shù)f(x)=x2+

a

x

 (a∈R)，則下列結(jié)論正確的是（　�。�
①?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)    ②?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
③?a∈R，f（x）是偶函數(shù)               ④?a∈R，f（x）是奇函數(shù)．

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

分析：對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，利用f′（x）判定f（x）在（0，+∞）上的增減性，從而判定①、②是否正確；由奇偶性的定義判定③、④是否正確；

解答：解：∵函數(shù)f(x)=x2+

a

x

 (a∈R)，
∴f′（x）=2x-

a

x2

=

2x3-a

x2

，顯然x∈（0，+∞）時(shí)，對(duì)任意的a∈R，2x³-a≥0不恒成立，即f′（x）≥0不恒成立，f（x）在（0，+∞）上不恒為增函數(shù)，①不正確；
也不存在a∈R，使2x³-a≤0在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，即f′（x）≤0不恒成立，∴②不正確；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²是R上的偶函數(shù)，∴③正確；
∵f（-x）+f（x）=（-x）²+

a

-x

+x²+

a

x

=2x²∴不存在a∈R，使f（x）是奇函數(shù)，∴④不正確；
綜上，正確的結(jié)論只有一個(gè)；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定問題，是基礎(chǔ)題中的易錯(cuò)題．